Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn mầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu A là biến cố : "Quả lấy ra mầu đỏ", B là biến cố : "Quả lấy ra ghi số chẵn". Hỏi A và B có độc lập không ?
Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ. Lấy ngẫu nhiễn một quả. Kí hiệu A là biến cố: "Quả lấy ra màu đỏ", B là biến cố: "Quả lấy ra ghi số chẵn". Hỏi A và B có độc lập không?
Kí hiệu A là biến cố: "Quả lấy ra màu đỏ";
B là biến cố: "Quả lấy ra ghi số chẵn".
Không gian mẫu
Ω = {1, 2, ..., 10};
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Từ đó:
Tiếp theo: B = {2, 4, 6, 8, 10} và A ∩ B = {2, 4, 6}.
Do đó:
Ta thấy
Vậy A và B độc lập.
Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn :
a) Ghi số chẵn
b) Mầu đỏ
c) Mầu đỏ và ghi số chẵn
d) Mầu xanh hoặc ghi số lẻ
Trong hộp có 30 quả với 15 quả ghi số chẵn, 10 quả mầu đỏ, 5 quả mầu đỏ ghi số chẵn, 25 quả mầu xanh hoặc ghi số lẻ. Vậy theo định nghĩa :
a) \(P\left(A\right)=\dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}\)
b) \(P\left(B\right)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\)
c) \(P\left(C\right)=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}\)
d) \(P\left(D\right)=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}\)
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hội thứ nhất chứ 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu :
A là biến cố : " Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng"
B là biến cố : "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng"
a) Xét xem A và B có độc lập không ?
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng mầu
c) Tính xác suất cho hai quả cẩu lấy ra khác mầu
Phép thử T được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".
Mỗi một kết quả có thể có của phép thư T gồm hai thành phần là: 1 quả cầu của hộp thứ nhất và 1 quả cầu của hộp thứ 2.
Có 10 cách để lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và có 10 cách để lấy 1 quả cầu ở hộp thứ 2. Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử T là 10 . 10 = 100. Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = 100.
Vì lấy ngầu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng.
Xét biến cố A: "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng".
Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A gồm 2 thành phần là: 1 quả cầu trắng ở hợp thứ nhất và 1 quả cầu (nào đó) ở hộp thứ 2. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là: n(A) = 6 . 10 = 60.
Suy ra P(A) = = 0,6.
Xét biến cố B: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng".
Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho B là:
n(B) = 10 . 4 = 40.
Từ đó suy ra P(B) = = 0,4.
a) Ta có A . B là biến cố: "Lấy được 1 cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 cầu trắng ở hộp thứ hai". Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A . B là:
6 . 4 =24. Suy ra:
P(A . B) = = 0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B).
Như vậy, ta có P(A . B) = P(A) . P(B). Suy ra A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
b) Gọi C là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có
C = A . B + . .
Trong đó = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và P() = 0,4.
: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P() = 0,6.
Và ta có A . B và . là hai biến cố xung khắc với nhau.
A và B độc lập với nhau, nên và cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
P(C) = P(A . B + . ) = P(A . B) + P( . ) = P(A) . P(B) + P() . P()
= 0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48.
c) Gọi D là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có
D = => P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52.
Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn:
a) Ghi số chẵn;
b) Màu đỏ;
c) Màu đỏ và ghi số chẵn;
d) Màu xanh hoặc ghi số lẻ.
Rõ ràng trong hộp có 30 quả với 15 quả ghi số chẵn, 10 quả màu đỏ, 5 quả màu đỏ ghi số chẵn, 25 quả màu xanh hoặc ghi số lẻ. Vậy theo định nghĩa
Trong đó A, B, C, D là các biến cố tương ứng với các câu a), b), c) ,d).
Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Khi đó xác suất để lấy được quả màu xanh hoặc ghi số lẻ bằng
A . 1 6
B . 2 3
C . 1 2
D . 5 6
Chọn D
Chọn ngẫu nhiên một quả trong 30 quả có 30 cách. Vậy n ( Ω ) = 30.
Gọi A là biến cố: “lấy được quả cầu màu xanh”.
Ta có n(A) = 20 => P(A) = 2 3
Gọi B là biến cố: “lấy được quả cầu ghi số lẻ”.
Ta có n(B) = 15 => P(B) = 1 2 .
Số quả cầu vừa màu xanh vừa ghi số lẻ: 10 (quả).
Xác suất để lấy được quả cầu vừa màu xanh vừa ghi số lẻ:
Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh hay ghi số lẻ:
Một hộp chứa 15 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 15, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Khi đó xác suất để hai quả cầu lấy được đều màu đỏ hoặc đều ghi số chẵn bằng
A . 141 595
B . 241 595
C . 36 119
D . 44 119
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
A là biến cố: "Qủa lấy từ hộp thứ nhất trắng"
B là biến cố: "Qủa lấy từ hộp thứ hai trắng"
a. Xem xét A và B có độc lập không?
b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
a) Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai
+ Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;
⇒ n(Ω) = 10.10 = 100.
A: “ Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B
⇒ n(A) = 6.10 = 60.
B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”
⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A
⇒ n(B) = 4.10 = 40.
A.B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B
⇒ n(A.B) = 6.4 = 24.
hay P(A.B) = P(A).P(B)
⇒ A và B là biến cố độc lập.
b) Gọi C: “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”.
Ta có: A− : “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đen”
B− : “ Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đen”
⇒A−.B− : “Cả hai quả cầu lấy ra đều màu đen”
Nhận thấy A.B và A−.B− xung khắc (Vì không thể cùng lúc xảy ra hai trường hợp 2 quả cầu lấy ra cùng trắng và cùng đen)
Và C=(A.B)∪(A−.B−)
c) C− : “Hai quả cầu lấy ra khác màu”
⇒ P(C− )=1-P(C)=1-0,48=0,52
Trong một hộp có 9 quả cầu đồng chất và cùng kích thước được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được quả cầu được đánh số là chẵn”.
A. P ( A ) = 5 4
B. P ( A ) = 4 9
C. P ( A ) = 4 5
D. P ( A ) = 5 9
Đáp án B
Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong 9 quả cầu có
Gọi A là biến cố “ lấy được quả cầu được đánh số là chẳn”
Trong 9 quả cầu đánh số, có các số chẵn là 2; 4; 6; 8
suy ra n(A) = 4
Vậy P ( A ) = 4 9
Trong một hộp có 9 quả cầu đồng chất và cùng kích thước được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được quả cầu được đánh số là chẵn”.
A. P A = 5 4
B. P A = 4 9
C. P A = 4 5
D. P A = 5 9
Đáp án B
Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong 9 quả cầu có C 9 1 cách ⇒ n Ω = 9
Gọi A là biến cố “ lấy được quả cầu được đánh số là chẳn”
Trong 9 quả cầu đánh số, có các số chẵn là 2 ; 4 ; 6 ; 8 suy ra n A = 4. Vậy P A = 4 9